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라마누잔



답은 3이 맞으나, 대부분의 사람들이 틀린 방법으로 설명하고 있으며 그게 완벽한 풀이인 줄 안다.

심지어 라마누잔도 한가지 방법만을 실었다.

라마누잔이 잘못했네그 방법은 이 영상에서 찾을 수 있다.

(참고: 이 비디오의 설명란에서는 "이 비디오에서는 직관적인 방법을 설명하고 있으며, 테크니컬하게 값에 대한 증명을 해야 한다.

"고 언급하고 있다.

하지만 많은 사람들이 설명란을 안 본다는 점은 아쉽다.

)영상이 영어라서 안 본 사람이 있을테니까 핵심이 되는 페이지 하나만 따오자. 많은 사람들이 이 방법만 알고 있으며, 내가 주장하는 것은 물론 이 방법이 잘못됐다는 것이다.

 Q. 완벽한데. 뭐가 잘못됐지?A. 이 방법은 식에서 답을 구하는게 아니라 답을 정해놓고 식을 만드는 방식을 쓰고 있다.

그리고 그 이상의 검증을 하지 않기 때문에 답은 3이라고 할 수 없다.

Q. 답 3 맞잖아?A. 아니. 이렇게 풀었을때의 답은 '3 이상의 모든 실수'다.

Q. 왜 답이 여러개야? 등식인데.A. '...' 을 잘못 다뤘기 때문에 답이 여러개가 나올 수 있다.

예를 들어서 위와 똑같은 방법으로 답이 4임을 증명해보겠다.

따라서 답은 4다.

Q. 딱봐도 아닐거같이 생겼구만ㅋㅋㅋㅋA. 이상하게 생겼다고 해서 답이 아니라고 하면 안된다.

원주율은 3.14가 아니라 3.14159265... 이렇게 이상하게 생긴 수임.Q. 근데 3을 전개할 때 보면 분수는 하나도 안나오잖아.A. 분수가 나오면 답이 아니라고 한적 없다.

Q. 루트 안에 들어가는 숫자가 너무 커진다.

A. 역시나 수가 너무 커진다고 해서 답이 아니라고 한적 없다.

그리고 얼마나 커져야 '너무' 커지는거지?(게다가 너무 작아져서 음수나오고 허수나온다고 해도 '이와 같은 방법으로 계속 계산하기'는 언제나 가능하다.

그래서 사실 답을 '모든 복소수'라고 하고싶기도 했다.

)Q. 3보다 큰 수를 넣어서 계산할때 나오는 값들은 3을 넣어서 계산할때의 값들보다 항상 크다.

A. 그럴거면 "다음 식의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 수는 얼마인가?"라고 물어봤어야지. 또 이렇게 물어본다고 해도 3보다 작은 임의의 수에 대해서는 안된다는 것을 증명해야 한다.

이 문제는 옳은 방법으로 정의할 수 있다.

ㅇㅇ. 극한으로 정의하면 됨. 이렇게.Q. '...'을 사용하는데 아까랑 뭐가 다름?A. 이 식에서 '...'은 유한을 나타내는데에 쓰였고, 거기다가 lim을 취한것이다.

유한개의 과정을 생략할때 쓰는 '...'은 규칙만 쉽게 알아볼수 있다면 마음껏 써도 된다.

Q. 그러면 저것도 답이 '3 이상의 모든 실수' 아닌가?A. 아니다.

저건 3이라고 증명할 수 있다.

Q. 기브미 증명A. http://www.isibang.ac.in/

sury/ramanujanday.pdf 여기 3페이지와 4페이지에 나와있다.

A. 또는 아래 증명을 봐도 된다.

두 증명은 아주 비슷하다.

아래 증명은 이전에 내가 쓴 글에서 그대로 긁어왔다.

원출처는 어딘지 까먹었다.

--- 증명 부분 --- 수열의 일반항 a_n을 아래와 같이 정의하자.얘는 증가수열이다.

(증명 생략)a_n의 맨 끝에 있는 n을 n^2+2n으로 바꿔보자.그러면 슈루루루룩하고 루트가 막 풀리면서 정확히 3이 된다.

즉 a_n은 3보다 작다.

따라서 a_n은 위로 유계이다.

위로 유계이고 증가하는 수열은 수렴하므로 a_n은 수렴하며, a_n의 극한값은 3 이하다.

 수렴성 증명 완료. 여기까지는 나도 할수 있었는데이제 극한이 3임을 증명해야 한다.

 이라 하자. 구하려는 값은 f(2)가 된다.

과  를 얻는다.

그러면 당연히 이겠지? 이걸 위 식에 대입하면 에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 ....이 과정을 원하는만큼 반복할 수 있으며, 그 반복 횟수에 극한을 취하면 이 된다.

x=2를 대입하면 f(2) >= 3이 나오고 아까 f(2) <= 3을 설명했으므로 끝.Q. 왜 이렇게 어렵게 풂?A. 아까 그 '쉬운' 방법이 틀린 방법이라니까?Q. 이러면 중학생들한테 이 문제 설명 못하잖아.A. 그럼 중학생들한테 내지 마. 아니면 처음 방법대로 풀고서 '사실 이 방법은 틀린 방법이더라.'를 끝에 붙여야 한다.

이정도만 언급해줘도 괜찮음.Q. 직관으로 풀 수 있는 아름다운 수학의 예로 이 문제를 보여줘야됨.A. 안됨. 이건 무한에서 직관을 사용하면 안되는 예에 들어가야 한다.

추가질문이나 의견이나 태클이나 그런것들 댓글에서 받습니다.

답은 3이 맞으나, 대부분의 사람들이 틀린 방법으로 설명하고 있으며 그게 완벽한 풀이인 줄 안다.

[라마누잔] 보면 볼수록..


심지어 라마누잔도 한가지 방법만을 실었다.

라마누잔이 잘못했네그 방법은 이 영상에서 찾을 수 있다.

(참고: 이 비디오의 설명란에서는 "이 비디오에서는 직관적인 방법을 설명하고 있으며, 테크니컬하게 값에 대한 증명을 해야 한다.

"고 언급하고 있다.

하지만 많은 사람들이 설명란을 안 본다는 점은 아쉽다.

)영상이 영어라서 안 본 사람이 있을테니까 핵심이 되는 페이지 하나만 따오자. 많은 사람들이 이 방법만 알고 있으며, 내가 주장하는 것은 물론 이 방법이 잘못됐다는 것이다.

 Q. 완벽한데. 뭐가 잘못됐지?A. 이 방법은 식에서 답을 구하는게 아니라 답을 정해놓고 식을 만드는 방식을 쓰고 있다.

그리고 그 이상의 검증을 하지 않기 때문에 답은 3이라고 할 수 없다.

Q. 답 3 맞잖아?A. 아니. 이렇게 풀었을때의 답은 '3 이상의 모든 실수'다.

Q. 왜 답이 여러개야? 등식인데.A. '...' 을 잘못 다뤘기 때문에 답이 여러개가 나올 수 있다.

예를 들어서 위와 똑같은 방법으로 답이 4임을 증명해보겠다.

따라서 답은 4다.

Q. 딱봐도 아닐거같이 생겼구만ㅋㅋㅋㅋA. 이상하게 생겼다고 해서 답이 아니라고 하면 안된다.

원주율은 3.14가 아니라 3.14159265... 이렇게 이상하게 생긴 수임.Q. 근데 3을 전개할 때 보면 분수는 하나도 안나오잖아.A. 분수가 나오면 답이 아니라고 한적 없다.

Q. 루트 안에 들어가는 숫자가 너무 커진다.

A. 역시나 수가 너무 커진다고 해서 답이 아니라고 한적 없다.

그리고 얼마나 커져야 '너무' 커지는거지?(게다가 너무 작아져서 음수나오고 허수나온다고 해도 '이와 같은 방법으로 계속 계산하기'는 언제나 가능하다.

그래서 사실 답을 '모든 복소수'라고 하고싶기도 했다.

)Q. 3보다 큰 수를 넣어서 계산할때 나오는 값들은 3을 넣어서 계산할때의 값들보다 항상 크다.

A. 그럴거면 "다음 식의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 수는 얼마인가?"라고 물어봤어야지. 또 이렇게 물어본다고 해도 3보다 작은 임의의 수에 대해서는 안된다는 것을 증명해야 한다.

이 문제는 옳은 방법으로 정의할 수 있다.

ㅇㅇ. 극한으로 정의하면 됨. 이렇게.Q. '...'을 사용하는데 아까랑 뭐가 다름?A. 이 식에서 '...'은 유한을 나타내는데에 쓰였고, 거기다가 lim을 취한것이다.

유한개의 과정을 생략할때 쓰는 '...'은 규칙만 쉽게 알아볼수 있다면 마음껏 써도 된다.

Q. 그러면 저것도 답이 '3 이상의 모든 실수' 아닌가?A. 아니다.

[라마누잔] 누구의 잘못인가



저건 3이라고 증명할 수 있다.

Q. 기브미 증명A. http://www.isibang.ac.in/

sury/ramanujanday.pdf 여기 3페이지와 4페이지에 나와있다.

A. 또는 아래 증명을 봐도 된다.

두 증명은 아주 비슷하다.

아래 증명은 이전에 내가 쓴 글에서 그대로 긁어왔다.

원출처는 어딘지 까먹었다.

--- 증명 부분 --- 수열의 일반항 a_n을 아래와 같이 정의하자.얘는 증가수열이다.

(증명 생략)a_n의 맨 끝에 있는 n을 n^2+2n으로 바꿔보자.그러면 슈루루루룩하고 루트가 막 풀리면서 정확히 3이 된다.

즉 a_n은 3보다 작다.

따라서 a_n은 위로 유계이다.

위로 유계이고 증가하는 수열은 수렴하므로 a_n은 수렴하며, a_n의 극한값은 3 이하다.

 수렴성 증명 완료. 여기까지는 나도 할수 있었는데이제 극한이 3임을 증명해야 한다.

 이라 하자. 구하려는 값은 f(2)가 된다.

과  를 얻는다.

그러면 당연히 이겠지? 이걸 위 식에 대입하면 에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 ....이 과정을 원하는만큼 반복할 수 있으며, 그 반복 횟수에 극한을 취하면 이 된다.

x=2를 대입하면 f(2) >= 3이 나오고 아까 f(2) <= 3을 설명했으므로 끝.Q. 왜 이렇게 어렵게 풂?A. 아까 그 '쉬운' 방법이 틀린 방법이라니까?Q. 이러면 중학생들한테 이 문제 설명 못하잖아.A. 그럼 중학생들한테 내지 마. 아니면 처음 방법대로 풀고서 '사실 이 방법은 틀린 방법이더라.'를 끝에 붙여야 한다.

이정도만 언급해줘도 괜찮음.Q. 직관으로 풀 수 있는 아름다운 수학의 예로 이 문제를 보여줘야됨.A. 안됨. 이건 무한에서 직관을 사용하면 안되는 예에 들어가야 한다.

추가질문이나 의견이나 태클이나 그런것들 댓글에서 받습니다.

답은 3이 맞으나, 대부분의 사람들이 틀린 방법으로 설명하고 있으며 그게 완벽한 풀이인 줄 안다.

심지어 라마누잔도 한가지 방법만을 실었다.

라마누잔이 잘못했네그 방법은 이 영상에서 찾을 수 있다.

(참고: 이 비디오의 설명란에서는 "이 비디오에서는 직관적인 방법을 설명하고 있으며, 테크니컬하게 값에 대한 증명을 해야 한다.

"고 언급하고 있다.

하지만 많은 사람들이 설명란을 안 본다는 점은 아쉽다.

)영상이 영어라서 안 본 사람이 있을테니까 핵심이 되는 페이지 하나만 따오자. 많은 사람들이 이 방법만 알고 있으며, 내가 주장하는 것은 물론 이 방법이 잘못됐다는 것이다.

 Q. 완벽한데. 뭐가 잘못됐지?A. 이 방법은 식에서 답을 구하는게 아니라 답을 정해놓고 식을 만드는 방식을 쓰고 있다.

그리고 그 이상의 검증을 하지 않기 때문에 답은 3이라고 할 수 없다.

Q. 답 3 맞잖아?A. 아니. 이렇게 풀었을때의 답은 '3 이상의 모든 실수'다.

Q. 왜 답이 여러개야? 등식인데.A. '...' 을 잘못 다뤘기 때문에 답이 여러개가 나올 수 있다.

예를 들어서 위와 똑같은 방법으로 답이 4임을 증명해보겠다.

따라서 답은 4다.

Q. 딱봐도 아닐거같이 생겼구만ㅋㅋㅋㅋA. 이상하게 생겼다고 해서 답이 아니라고 하면 안된다.

원주율은 3.14가 아니라 3.14159265... 이렇게 이상하게 생긴 수임.Q. 근데 3을 전개할 때 보면 분수는 하나도 안나오잖아.A. 분수가 나오면 답이 아니라고 한적 없다.

Q. 루트 안에 들어가는 숫자가 너무 커진다.

A. 역시나 수가 너무 커진다고 해서 답이 아니라고 한적 없다.

그리고 얼마나 커져야 '너무' 커지는거지?(게다가 너무 작아져서 음수나오고 허수나온다고 해도 '이와 같은 방법으로 계속 계산하기'는 언제나 가능하다.

그래서 사실 답을 '모든 복소수'라고 하고싶기도 했다.

)Q. 3보다 큰 수를 넣어서 계산할때 나오는 값들은 3을 넣어서 계산할때의 값들보다 항상 크다.

A. 그럴거면 "다음 식의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 수는 얼마인가?"라고 물어봤어야지. 또 이렇게 물어본다고 해도 3보다 작은 임의의 수에 대해서는 안된다는 것을 증명해야 한다.

이 문제는 옳은 방법으로 정의할 수 있다.

ㅇㅇ. 극한으로 정의하면 됨. 이렇게.Q. '...'을 사용하는데 아까랑 뭐가 다름?A. 이 식에서 '...'은 유한을 나타내는데에 쓰였고, 거기다가 lim을 취한것이다.

유한개의 과정을 생략할때 쓰는 '...'은 규칙만 쉽게 알아볼수 있다면 마음껏 써도 된다.

Q. 그러면 저것도 답이 '3 이상의 모든 실수' 아닌가?A. 아니다.

저건 3이라고 증명할 수 있다.

Q. 기브미 증명A. http://www.isibang.ac.in/

sury/ramanujanday.pdf 여기 3페이지와 4페이지에 나와있다.

A. 또는 아래 증명을 봐도 된다.

두 증명은 아주 비슷하다.

아래 증명은 이전에 내가 쓴 글에서 그대로 긁어왔다.

원출처는 어딘지 까먹었다.

--- 증명 부분 --- 수열의 일반항 a_n을 아래와 같이 정의하자.얘는 증가수열이다.

(증명 생략)a_n의 맨 끝에 있는 n을 n^2+2n으로 바꿔보자.그러면 슈루루루룩하고 루트가 막 풀리면서 정확히 3이 된다.

즉 a_n은 3보다 작다.

따라서 a_n은 위로 유계이다.

위로 유계이고 증가하는 수열은 수렴하므로 a_n은 수렴하며, a_n의 극한값은 3 이하다.

 수렴성 증명 완료. 여기까지는 나도 할수 있었는데이제 극한이 3임을 증명해야 한다.

 이라 하자. 구하려는 값은 f(2)가 된다.

과  를 얻는다.

그러면 당연히 이겠지? 이걸 위 식에 대입하면 에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 그러면 당연히 겠지? 이걸 위 식에 대입하면에서을 얻는다.

 ....이 과정을 원하는만큼 반복할 수 있으며, 그 반복 횟수에 극한을 취하면 이 된다.

x=2를 대입하면 f(2) >= 3이 나오고 아까 f(2) <= 3을 설명했으므로 끝.Q. 왜 이렇게 어렵게 풂?A. 아까 그 '쉬운' 방법이 틀린 방법이라니까?Q. 이러면 중학생들한테 이 문제 설명 못하잖아.A. 그럼 중학생들한테 내지 마. 아니면 처음 방법대로 풀고서 '사실 이 방법은 틀린 방법이더라.'를 끝에 붙여야 한다.

이정도만 언급해줘도 괜찮음.Q. 직관으로 풀 수 있는 아름다운 수학의 예로 이 문제를 보여줘야됨.A. 안됨. 이건 무한에서 직관을 사용하면 안되는 예에 들어가야 한다.

추가질문이나 의견이나 태클이나 그런것들 댓글에서 받습니다.


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